sábado, 30 de enero de 2016

VARIABLES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES


VARIABLE ALEATORIA Es una función que asigna un número real, a cada resultado del espacio muestral, de un experimento aleatorio. En otras palabras, es una función X definida: X: S → R Por tanto, es una función cuyo dominio es el espacio muestral y el rango es el conjunto de los número reales.El espacio muestral en muchas ocasiones, no está constituido por números, pero a través de la variable aleatoria, se puede expresar en forma numérica todo tipo de espacio muestral, lo cual facilita el análisis de sus aspectos más relevantes. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria refleja su comportamiento probabilístico.

 NOTA ACLARATORIA. En muchos casos ocurre que los elementos del espacio muestral también son números, entonces, X queda definida por X(w)=w (función identidad), es una variable aleatoria. En dicha situación, el mismo experimento aleatorio define una variable aleatoria, con dominio y rango iguales.


 EJEMPLO 1. Se lanza una moneda. S = {C, S}. Sea X = {Número de caras}. Esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: - Si es cara, w = C, entonces, X(w) = 1. - Si es sello, w = S, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1}

 EJEMPLO 2. Se lanzan dos monedas. S= {CC, CS,SC, SS}. X = {Número de caras} Si w = CC, entonces, X(w) = 2. Si w = CS, entonces, X(w) = 1. Si w = SC, entonces, X(w) = 1. Si w = SS, entonces, X(w) = 0. Esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1, 

 Tipos de Variables Aleatorias. 
 

Distribucion de probabilidad de una variable aleatoria.

 La distribucion de probabilidad de una variable aleatoria es una funcion que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la funcion de distribucion, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Dada una variable aleatoria \scriptstyle X, su funcion de distribucion, \scriptstyle F_X(x), es
F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice \scriptstyle X y se escribe, simplemente, \scriptstyle F(x). Donde en la fórmula anterior:
\mathrm{Prob}\,, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.
\mu_P\, es la medida sobre la σ-algebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
\Omega\, es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
X:\Omega\to \R es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

 
Distribucion de Variable Discreta.
 Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)
Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde -\infty hasta el valor x.




Distribucion de Variable Continua.
Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt   
 
IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA EN EL CAMPO PROFESIONAL.
La Estadística es de gran importancia en las diferentes empresas, enfocadas desde cualquier área profesional ya que ayudan a lograr una adecuada planeación y control apoyados en los estudios de pronósticos, presupuestos entre otros.
  •  Motivan a la alta gerencia para que definan los objetivos básicos de la empresa.
  •  Propician que se defina una estructura adecuada, determinando la responsabilidad y autoridad de cada una de las partes que integran la organización. 
  •  Obligan a mantener un archivo de datos históricos controlables.
  •  Facilitan a la administración la utilización optima de los diferentes insumos.    
  • Facilitan la coparticipación e integración de las diferentes áreas de la compañía. Obligan a realizar un auto análisis periódico. 
  • Facilitan el control administrativo.  
  •  Son un reto que constantemente se presenta a los ejecutivos de una organización para ejercitar su creatividad y criterio profesional a fin del mejoramiento de la empresa. 
  • Ayudan a lograr una mayor efectividad y eficiencia en las operaciones.
  • A través de los pronósticos, se pueden prever las perdidas en los resultados de los estados financieros futuros, y de esta manera se pueden tomar decisiones bien sea la reducción de costos y gastos, planear estrategias que ayuden al mejoramiento de la empresa, y que se cumpla con el objetivo de toda empresa que es obtener utilidades.

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